মার্ক্সের গণিত: দর্শন ও ক্যালকুলাসের এক নতুন দ্বান্দ্বিক পাঠ

মার্ক্সের গণিত: দর্শন ও ক্যালকুলাসের এক নতুন দৃষ্টি

“গতকাল আমি কোনো রেফারেন্স ছাড়াই তোমার গাণিতিক পাণ্ডুলিপিটি পড়ার সাহস পেয়েছি। বুঝতে পেরে ভালো লাগছে যে তাদের (রেফারেন্সে) কোনো প্রয়োজন নেই। তোমার কাজের প্রশংসা করছি। ব্যাপারটা দিনের আলোর মতো স্পষ্ট হচ্ছে যে, একে রহস্যময় করে তুলতে গণিতবিদরা বিষয়টিকে কত জটিল করে তোলেন; তাতে আমরা যথেষ্ট আশ্চর্য না হয়ে পারি না। কিন্তু এসব ভদ্রলোকদের একতরফা ধারণা থেকেই আসে। $dy/dx = 0/0$ তাঁদের মাথায়ই ঢোকে না।”

সমাজতত্ত্ব, অর্থনীতি এবং দর্শনের সাথে কার্ল মার্ক্স গণিতেরও গভীর চর্চা করেছেন। ক্যালকুলাসের প্রতি তাঁর ছিল প্রবল আগ্রহ। ক্যালকুলাসের ওপর তাঁর নোট পড়ে ফ্রেডরিখ এঙ্গেলস উপরের এই মন্তব্যটি করেন। মার্ক্সের গণিত চর্চার কিছু মূল বিষয় বোঝার চেষ্টা করা যাক:

১. ফাংশনের পরিবর্তন ও প্রতীকের খেলা

$y$ হলো $x$ এর একটি ফাংশন অর্থাৎ $y = f(x)$; এবার একটি সহজ ফাংশন ধরা যাক $y = ax$; যেখানে $a$ হলো একটি ধ্রুবক। ধরা যাক $x$ পজিটিভ দিকে বেড়ে $x_1$ হয়েছে ($x_1 > x$) এবং সেকারণে $y$ পরিবর্তিত হয়ে $y_1$ হয়েছে। এবার ফাংশনটিকে লেখা যেতে পারে:

$$(y_1 - y) = a(x_1 - x)$$ $$\text{বা, } \frac{y_1 - y}{x_1 - x} = a$$

যদি $x_1$ কমতে কমতে একসময় $x$ এর সমান হয় ($x_1 = x$), তখন $y_1 = y$ হবে। এই অবস্থায় সমীকরণটি দাঁড়ায়:

$$\frac{0}{0} = a$$

এখানেই মার্ক্সের মৌলিক পর্যবেক্ষণটি আসে। যখন বাস্তব সংখ্যাগুলো উধাও হয়ে যায়, তখন ডানদিকের ধ্রুবকটি যেন অনির্ণেয় হয়ে পড়ে। মার্ক্স সমীকরণের দুটি দিককে আলাদা করেছেন: বাম দিকের অংশটি হলো প্রতীকী (Symbolic) এবং ডান দিকের অংশটি হলো বীজগাণিতিক (Algebraic)।

২. লেবনিজ বনাম মার্ক্সীয় পদ্ধতি

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসে লেবনিজ যেভাবে অতি ক্ষুদ্র রাশির পরিবর্তন বা 'ইনফাইনিটি সিমাল' (Infinitesimal) পদ্ধতি ব্যবহার করেছেন, তা নিয়ে মার্ক্স প্রশ্ন তুলেছিলেন। লেবনিজের পদ্ধতিতে $y = x^2$ ফাংশনের ডেরিভেটিভ নির্ণয় করা হতো এভাবে:

$$y + dy = (x + dx)^2$$ $$\text{বা, } y + dy = x^2 + 2x dx + dx^2$$

এখানে মার্ক্সীয় যুক্তি অনুযায়ী, একেবারে ডান দিকের $dx^2$ অংশটি কিন্তু শূন্য নয়, তবুও গণিতবিদরা হিসাবের সুবিধার্থে একে 'অবজ্ঞা' করে বা বাদ দিয়ে লেখেন: $dy = 2x dx$ বা $dy/dx = 2x$। মার্ক্সের মতে, এই পদ্ধতিটি কিছুটা "রহস্যময়"।

এর বিপরীতে মার্ক্স ডি'অ্যালামবার্টের পদ্ধতিকে বেশি যৌক্তিক মনে করতেন। ধরা যাক, $x$ এর অতি ক্ষুদ্র পরিবর্তন $h$। তাহলে $y = x^2$ এর পরিবর্তনের হার হবে:

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h) - x} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$$ $$= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = 2x + h$$

এই ফলাফলে $h$-এর মান শূন্য হলে শুধু $2x$ থাকে। মার্ক্সের দ্বান্দ্বিক দৃষ্টিতে, এই $h$ রাশিটি স্রেফ উধাও হয় না, বরং এটি একটি প্রক্রিয়ার মাধ্যমে শূন্যে পৌঁছায়।

৩. অপারেটর ও দ্বান্দ্বিক গতি

মার্ক্সের দৃষ্টিতে, $\frac{dy}{dx} = mx^{m-1}$ এর বাম দিকের অংশটি কোনো গাণিতিক অপারেশন-কে বর্ণনা করে আর ডান দিকেরটি সেই অপারেশনের ফলাফল। তিনি মনে করতেন $y$ কীভাবে $x$ এর ওপর নির্ভরশীল তা না জেনে সরাসরি এই সমীকরণ লেখা অর্থহীন। তাঁর কাছে ডেরিভেটিভ নির্ণয় পদ্ধতি ছিল একটি দ্বান্দ্বিক গতি—যেখানে পরিবর্তনশীল রাশিকে প্রথমে একটি নির্দিষ্ট মানে নিয়ে যাওয়া হয় এবং তারপর সেই পরিবর্তনকে শূন্যের দিকে ধাবিত করা হয়।

আধুনিক গণিতবিদদের মন্তব্য:

আধুনিক গণিত বা 'নন-স্ট্যান্ডার্ড অ্যানালিসিস' (Non-standard Analysis)-এর আলোকে আজ অনেক গবেষক মনে করেন, মার্ক্সের এই চিন্তাগুলো তৎকালীন সময়ের চেয়ে অনেক এগিয়ে ছিল। তিনি গণিতকে স্রেফ কিছু ফর্মুলা হিসেবে নয়, বরং একটি 'উৎপাদনশীল প্রক্রিয়া' হিসেবে দেখেছিলেন।

জাপানি অর্থনীতিবিদ হিরোফুমি উজাওয়া এক সাক্ষাৎকারে বলেছিলেন, "কিভাবে মার্ক্সের এই প্রমাণের বিরোধিতা করব? এটা এখনও একটি রহস্য। গণিতশাস্ত্রে বুর্জোয়া মতাদর্শ ব্যাপকভাবে মিশে আছে।"

---

তথ্যসূত্রঃ

1. কার্ল মার্ক্স অ্যান্ড দ্যা ফাউন্ডেশন অফ ডিফারেন্সিয়াল ক্যালকুলাস - হুবার্ট সি কেনেডি।
2. ক্যালকুলাস: এ মার্ক্সিস্ট অ্যাপ্রোচ - চার্লস ফাহে অ্যান্ড সি টি লেন্ডার্ড।
3. মার্ক্সিস্ট ইন্টারনেট আর্কাইভ।
4. অ্যান ইন্টারভিউ উইথ হিরোফুমি উজাওয়া: রিসার্চ ইন্সটিটিউট অফ ক্যাপিটাল ফরমেশন, ২৯ জুন ১৯৯৮।